[科技新報]華人數學家張益唐 解開質數百年謎題

在有關質數研究的最新結果還未公諸於世之前，數學界幾乎沒有人認識這位來自中國、沒有任何背景靠山的數學講師──張益唐，而他的這篇文章「Bounded gaps between primes」〈質數之間的有界距離〉，已被全球最具權威的數學期刊Annals of Mathematics接受並即將刊出，一夕之間洛陽紙貴，在數學圈裡引起不小的轟動。至於這位有著普度大學數學博士頭銜，卻一度找不到教職的數學家卻謙遜的表示：我幸運地突破了髮絲般的距離。

髮絲般的距離，從2000年前談起

到底「髮絲般的距離」是什麼？這就要從2000多年前談起，當時的古希臘數學家歐幾里德（Euclid），首先證明質數在自然數中有無窮多個（質數是指正因數只有1和本身的正整數）。但「無窮多個」這個答案並不能完全滿足數學家的好奇心，他們希望知道質數的分布情形，到底質數在整個自然數中是隨機出現，還是具有一定的規律？如果質數之間的距離是隨機的，那麼出現無窮對、距離為某個數值的質數就不是那麼自然的事了。

有上過國中數學的人都知道，隨著數值的變大，質數出現的次數也越來越少，比方說在10以內的質數有2、3、5、7共四個，占了40％，而100以內的質數有25個，占25％，至於100萬以內的質數只占了7.85％，顯然質數的分布是越來越稀疏，同時質數之間的平均距離也越來越遠。因此數學家就產生了疑問，是否質數越大，它跟下一個質數的差距也是越來越大，甚至趨近於無窮。

在還未解開這個疑問前，他們卻發現幾個例外，其中一個就是有無窮多組的孿生質數存在。孿生質數就是兩個相鄰且相差2的質數，例如3和5，17和19，目前發現最大的孿生質數為2,003,663,613 × 2^195,000 − 1 和2,003,663,613 × 2^195,000 + 1，而這個例外就衍伸出著名的孿生質數猜想（twin primes conjecture）：是否存在無窮多相差2的質數對。


從無窮大到7000萬

至於張益唐的論文就是證明了孿生質數猜想的弱化形式，他發現無論我們找再大的質數，永遠找得到差小於7,000萬，換去話說也就是無窮多對的相鄰質數對，其間之差小於7,000萬。而他所稱「髮絲般的距離」，其實就是從無窮大推進到7,000萬的距離。

雖然張益唐的論文未能解決孿生質數猜想，對於一般大眾來說，從7,000萬到2似乎仍像一道鴻溝難以跨越，但在數學家的眼中，這可是一項了不得的成就，美國數學家戈德菲爾（ Dorian Goldfeld）就評論說：「從7,000萬到2的距離，相比於從無窮到7,000萬的距離，是非常微不足道的」。這位曾被忽略的數學家張益唐，以他謙稱的「一小步」，帶領數學界在質數領域跨出「一大步」。

自從他的研究在5月中被公開，孿生質數外圍那道最難以攻克的牆，應聲倒塌，數學家蜂擁似的朝孿生質數接近。根據PolyMath最新公布的結果，目前質數對的差值（Bounded gaps between primes），已逼近到10,000。


質數與密碼演算法

或許有人會好奇的問「了解質數的分布與我們生活有什麼相關」，最為相關就是密碼演算法。現今許多演算法，都是從質因數分解（integer factorization）與離散對數（discrete logarithms）計算而來。例如公開金鑰加密法（Public-key cryptography），就是隨機產生兩個位數很大的質數，再相乘產生暗文完成加密動作，若對方沒有私密金鑰，很難用質因數分解法破解訊息產生明文。

但如果能找出質數的規律，並且能計算出來，兩個質數的乘積就容易反向推導解出來，那原本以暴力破解法需花費一生才能解開的密碼，就能輕易用規則找出加密用的多位數質數。

張益唐目前在新罕布夏州大學（University of New Hampshire）擔任數學和統計系講師，相較於同輩的數學家，他的學術生涯並不順遂，博士班畢業後一度找不到教職，還曾做過會計師，甚至在地下鐵的三明治店工作。雖然在如此艱難的環境，他卻始終沒有放棄思考和鑽研熱愛的數學問題，他稱這個發現是長期研究的積累，一旦有機遇，就成功地突破難題，找到別人沒有想到的特別突破口。而這也是一種運氣。

經由科技新報網站

↓↓↓↓↓↓加入癮科技粉絲團，有更多歡樂有趣的科技新聞↓↓↓↓↓↓